INTEGRASI NUMERIK
I = ab∫ f(x) dx
§ Integrasi adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x serta batas antara x = a dan x = b
A. Metode Trapesium
§ Luasan bidang dibawah fungsi f(x) antara x= a dan x = b didekati oleh luas trapesium dibawah garis lurus yang menghubungkan f(a) dan f(b),sehingga
I ≈ ( b – a)
§ Besar kesalahan yang terjadi,
E = − f″ (ξ) ( b-a)
Dengan ξ adalah titik yang terletak dalam interval a dan b
Contoh:
Hitung I = 14∫ ln x dx dengan menggunakan metode trapesium satu pias
Penyelesaian :
§ Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analitis
I = [ x ( ln x – 1 )]14
= 4 ( ln 4 -1) – 1 ( ln 1 – 1)
= 1,5451774 – (–1)
= 2,5451774
§ Dengan menggunakan integrasi numerik
I = ( 4 – 1 )
= 2, 0794415
§ Kesalahan sebesar,
Et = x 100%
= 18,3 %
B . Metode Trapesium dengan Banyak Pias
§ Pada gambar diatas,panjang pias adalah sama. Apabila terdapat n pias berarti panjang masing-masing pias adalah
Δx =
§ Integral total dapat ditulis dalam bentuk :
I = dx + dx + . . . . . . . + dx
§ Substitusi persamaan trapesium ke persamaan di atas akan didapat,
I = Δx + Δx + ..........+ Δx
Atau
I =
Atau
I = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b1)
§ Besarnya kesalahan yang terjadi pada penggunaan pias adalah:
Et = ( b – a) f″ (ξ )
Untuk kebanyakan fungsi,bentuk f″ (ξ ) dapat didekati oleh,
f″ (ξ ) =
§ Substitusi persamaan diatas ke persamaan (b1) didapat,
I = . . . . . . . . . .(b2)
§ Persamaan b2 merupakan persamaan trapesium banyak pias dengan koreksi ujung .
Contoh :
Selesaikan persamaan integral dibawah ini dengan metoda trapesium enam pias
I = x dx
Penyelesaian :
§ Metoda trapesium dengan 6 pias
Δx =
I =
= 2,529713
Kesalahan,
Et =
§ Metode trapesium dengan koreksi ujung,
I = 2,529713 -
= 2,545338
Kesalahan,
Et = = 0,0063 %
C . Metode Simpson
- Aturan Simpson 1/3
- Aturan Simpson 3/8
Aturan Simpson 1/3 satu pias
· Aturan Simpson 1/3 dibagi menjadi dua :
Aturan simpson 1/3 dengan satu pias dan aturan simpson 1/3 dengan banyak pias
Persamaan diatas dikenal dengan aturan Simpson 1/3,
§ Pada aturan Simpson 1/3 dua pias (paling kecil dua pias),
=
sehingga persamaan diatas menjadi, dengan titik tengah antara a dan b.
Ai=
§ Kesalahan pemotongan yang terjadi dari aturan simpson 1/3 untuk satu pias adalah
Contoh :
Selesaikan integral di bawah ini dengan aturan Simpsons 1/3
I = x dx
Penyelesaian :
Ai=
Titik tengah antara 4 dan 1 (titik C) adalah 2,5
Ai=
Et = x 100%
= 0,76 %
Aturan Simpson 1/3 banyak pias
· Kesalahan yang terjadi pada aturan simpsonuntuk banyak pias adalah:
Ea=
Fiv adalah rerata turunan keempat untuk setiap interval
Contoh:
Selesaikan integral di bawah ini dengan aturan Simpsons 1/3 enam pias
I = x dx
Penyelesaian :
Δx =
=
=
= 2,54465
Et = x 100%
= 0,021 %
C.3. Aturan Simpson 3/8
§ Dengan cara yang sama seperti dalam aturan Simpson 1/3, polinominal Langrange order tiga melalui empat titik untuk integrasi,
yang akhirnya menghasilkan,
Dengan, =, sehingga aturan Simpson3/8 dapat ditulis,
§ Aturan Simpson 3/8 mempunyai kesalahan sebesar,
Contoh :
- Hitung dengan aturan Simpson 3/8
- Hitung apabila digunakan pias 9 (gabungan aturan Simpson1/3 dan 3/8)
Penyelesaian :
- Dengan aturan Simpson 3/8
Besar kesalahan,
- Apabila digunakan 9 pias, maka 6 pias dengan aturan Simpson 1/3 dan 3 pias dengan aturan Simpson 3/8
Integral untuk 6 pias dengan aturan Simpson 1/3,
Integral untuk 3 pias dengan aturan Simpson 3/8,
Sehingga,
Besar Kesalahan,