analisa numerik

INTEGRASI NUMERIK

I = _a^b∫ f(x) dx

§         Integrasi adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x serta batas antara x = a dan x = b

A.     Metode Trapesium

§    Luasan bidang dibawah fungsi f(x) antara x= a dan x = b didekati oleh luas trapesium dibawah garis lurus yang menghubungkan f(a) dan f(b),sehingga

I ≈  ( b – a)

§   Besar kesalahan yang terjadi,

E = − f″ (ξ) ( b-a)

Dengan ξ adalah titik yang terletak dalam interval a dan b

Contoh:

Hitung I = ₁⁴∫ ln x  dx  dengan menggunakan metode trapesium satu pias

Penyelesaian :

§      Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analitis

I = [ x ( ln x – 1 )]₁⁴

  = 4 ( ln 4 -1) – 1 ( ln 1 – 1)

  = 1,5451774  – (–1)

  = 2,5451774

§      Dengan menggunakan integrasi numerik

I = ( 4 – 1 )

  = 2, 0794415

§      Kesalahan sebesar,

          Et  =  x 100%

               =  18,3 %

B .       Metode Trapesium dengan Banyak Pias

                    

§   Pada gambar diatas,panjang pias adalah sama. Apabila terdapat n pias berarti panjang masing-masing pias adalah

Δx =

§   Integral total dapat ditulis dalam bentuk :

I = dx +  dx + . . . . . . .  + dx

§   Substitusi persamaan trapesium ke persamaan di atas akan didapat,

I =  Δx + Δx + ..........+ Δx

 Atau

I = 

Atau

I =   . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . (b₁)

§   Besarnya kesalahan yang terjadi pada penggunaan pias adalah:

E_t =  ( b – a) f″ (ξ )

Untuk kebanyakan fungsi,bentuk f″ (ξ ) dapat didekati oleh,

f″ (ξ ) =

§   Substitusi persamaan diatas ke persamaan (b₁) didapat,

I =    . . . . . . . . . .(b₂)

§   Persamaan b₂ merupakan persamaan trapesium banyak pias dengan koreksi ujung .

Contoh :

Selesaikan persamaan integral dibawah ini dengan metoda trapesium enam pias

I = x dx

Penyelesaian :

§   Metoda trapesium dengan 6 pias

Δx =

I   =

    =  2,529713

Kesalahan,

E_t =

§   Metode trapesium dengan koreksi ujung,

I    = 2,529713 -

     = 2,545338

Kesalahan,

         E_t = = 0,0063 %

C . Metode Simpson

• Aturan Simpson 1/3
• Aturan Simpson 3/8

Aturan Simpson 1/3 satu pias

·         Aturan Simpson 1/3 dibagi menjadi dua :

Aturan simpson 1/3 dengan satu  pias dan aturan simpson 1/3 dengan banyak pias

Persamaan diatas dikenal dengan aturan Simpson 1/3,

§         Pada aturan Simpson 1/3 dua pias (paling kecil dua pias),

=

sehingga persamaan diatas menjadi, dengan titik tengah antara a dan b.

A_i=

§         Kesalahan pemotongan yang terjadi dari aturan simpson 1/3 untuk satu pias adalah

Contoh :

Selesaikan integral di bawah ini dengan aturan Simpsons 1/3

I = x dx

Penyelesaian :

A_i=

Titik tengah antara 4 dan 1 (titik C) adalah 2,5

A_i=

            Et  =  x 100%

               =  0,76 %

Aturan Simpson 1/3 banyak pias

·         Kesalahan yang terjadi pada aturan simpsonuntuk banyak pias adalah:

Ea=

            F^iv adalah rerata turunan keempat untuk setiap interval

Contoh:

Selesaikan integral di bawah ini dengan aturan Simpsons 1/3 enam pias

I = x dx

Penyelesaian :

           

Δx =

               =

                          =

                          = 2,54465

Et  =  x 100%

                 =  0,021 %

C.3. Aturan Simpson 3/8

§   Dengan cara yang sama seperti dalam aturan Simpson 1/3, polinominal Langrange order tiga melalui empat titik untuk integrasi,

yang akhirnya menghasilkan,

Dengan, =, sehingga aturan Simpson3/8 dapat ditulis,

§   Aturan Simpson 3/8 mempunyai kesalahan sebesar,

Contoh :

 

1. Hitung dengan aturan Simpson 3/8
2. Hitung apabila digunakan pias 9 (gabungan aturan Simpson1/3 dan 3/8)

Penyelesaian :

1. Dengan aturan Simpson 3/8

        

        

        

Besar kesalahan,

        

2. Apabila digunakan 9 pias, maka 6 pias dengan aturan Simpson 1/3 dan 3 pias dengan aturan Simpson 3/8

        

Integral untuk 6 pias dengan aturan Simpson 1/3,

          

Integral untuk 3 pias dengan aturan Simpson 3/8,

Sehingga,

Besar Kesalahan,